Un blog sur les mathématiques et la musique

Soit la fonction f définie sur 0;+inf par : f(x) = x + 1/x.

1/ Montrer que, pour tout x dans 0;+inf on a : f(x) >= 2.        (1)

2/ En utilisant (1), en déduire que pour tout entier naturel n et tous entiers naturels a et b non nuls :

    ( 1 + a/b ) ^ n  +  ( 1 + b/a) ^ n  >=  2^(n+1).

Démontrer que pour tout entier naturel n non nul :

ln(n!) <= ((n(n-1))/2

On se donne, pour tout entier n non nul :

I_n = Int ( 1/(x^2+1)^n, x, 0, 1).

1/ Calculer I_1.

2/ Trouver une relation de récurrence entre I_(n+1) et I_n.

3/ Quelle est la valeur exacte de I_5 ?

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Tout est dans le titre!

Vérifions quand même :

C'est vrai pour n=0 : 9^0 - 2^0 = 1 - 1 = 0 car 0 = 0*7

C'est vrai aussi pour n=1 : 9 - 2 = 7 et 7 = 1*7

Et pour n=2, que trouvez-vous?

Pour n=3?

Quel est le nom du raisonnement, ou le principe logique, qui fait "tourner" cette propriété pour tous les entiers naturels n?

Bonjour! 

Mathématicien de formation et musicien amateur, je souhaite concilier ces deux passions ici.

Je recherche un informaticien chevronné, ainsi qu'un bon professeur de guitare! 

Bonne lecture et, surtout : Amusez-vous...

Serge (pseudo)